Число π (или «пи») принадлежит к огромной математической группе под названием «иррациональные числа» — они бесконечны и не могут быть записаны в виде обыкновенных дробей. Ученые рассчитали π до 105 триллионов знаков, хотя большинство людей знают лишь его сокращенную форму — 3,14. Но откуда мы знаем, что π — иррациональное число? Портал livescience.com разобрался в вопросе.
Рациональные числа, составляющие большинство чисел, которые мы используем в повседневной жизни, могут быть записаны в форме одного целого числа и разделены на другое. А π, будучи длинной цепочкой десятичных знаков, определенно не подпадает под это определение. Но, в целом, рациональность — это скорее практическое свойство; способность представить число без каких-либо прикидок, конечным количеством символов.
Однако доказать, что π невозможно представить обыкновенной дробью, неожиданно тяжело. У математиков нет какого-то универсального метода, демонстрирующего, что-то или иное число иррациональное, поэтому для каждого случая приходится разрабатывать уникальное доказательство. Ведь, по сути, им необходимо доказать негативное свойство числа.
Несмотря на этот нюанс, на протяжении 300 лет математики установили различные доказательства иррациональности π при помощи целого арсенала техник. Каждый аргумент начинается с предположения, что π — рациональное число, записанное в уравнении. А затем, проходя через последовательность манипуляций и дедукций о свойствах неизвестных значений в уравнении, доказательства показывают, что расчеты противоречат изначальному тезису. Таким образом, ученые подводят к выводу, что π должно быть иррациональным.
Математические расчеты, на которые завязан этот процесс, невероятно сложны. Обычно они требуют университетское знание алгебры, тригонометрии и бесконечных рядов. Однако каждый подход так или иначе опирается на центральную идею доказательства через противоречие.
При этом иррациональность π можно доказать и через другое свойство числа. Так, π принадлежит еще и к группе т.н. «трансцендентных чисел» — они не алгебраические и, что самое важное, не могут быть корнями многочленов с целочисленными коэффициентами. Из-за того, что все трансцендентные числа иррациональны, любое доказательство, показывающее, что π относится к ним, также доказывает иррациональность π.
Хотя универсальная важность π может заключаться в иррациональности числа, для прикладного применения обычно хватает семи или восьми знаков после запятой. Даже NASA использует только 16 при своих математических расчетах.
